Kuo skiriasi baigtinis rinkinys nuo begalinio rinkinio?


Atsakymas 1:

Čia rašau pagrindinį skirtumą tarp 3 kategorijų.

1: baigtinis rinkinys

2: Skaičiuojamas begalinis rinkinys

3: nesuskaičiuojamas begalinis rinkinys ..

Mes galime atskirti aukščiau išvardytas 3 kategorijas tiesiog patikrindami jų skaičiavimus. Bet esmė ta, kaip patikrinti skaičiavimus ...

PAVYZDŽIUOSE, be abejo, elementai yra suskaičiuojami, pvz .: A = {3, 5, 6, 9}, B = {a, e, i, o, u} C = {x: x <50, x priklauso N} ir tt Visuose šiuose pavyzdžiuose kardinalumas yra labai aiškus.

Bet begaliniuose rinkiniuose: elementus galima suskaičiuoti arba jų neįmanoma suskaičiuoti. Kaip, mes pradedame nuo begalinio rinkinio su mažiausiu kardinalumu ...

Natūraliųjų skaičių rinkinys N-> Begalinis, skaičiuojamas

Sveiko skaičiaus rinkinys W-> Begalinis, skaičiuojamas

Integers Z -> Begalinis, skaičiuojamas

Racionaliųjų skaičių rinkinys Q -> Begalinis, skaičiuojamas

Iracionaliųjų skaičių rinkinys I -> Begalinis, neskaičiuojamas

Realiųjų skaičių rinkinys R -> Begalinis, neskaičiuojamas

Begalinis rinkinys yra suskaičiuojamas, jei egzistuoja bijektyvusis žemėlapių sudarymas, ty yra vienas prieš vieną atitikimas tarp nustatytų elementų ir natūralaus skaičiaus. Tai reiškia, kad mes galime išdėstyti rinkinio elementus į paprastas eilutes arba į eilutes ir stulpelius. ir mes esame labai tikri, kuris numeris ateis toliau. Natūraliu skaičiumi elementai gali būti išdėstyti taip, kaip 1-asis elementas, 2-asis elementas, 3-asis elementas ... ... ir tt ... Vienintelis dalykas, kad šios eilutės ir stulpeliai tęsiasi iki begalybės ...

Pavyzdžiui,… natūralieji skaičiai 1,2,3,4,5,6,7, ……… .. begalybė

Sveikas skaičius O, 1,2,3,4,5, ………… begalybė

Sveikieji skaičiai neigiama begalybė… .. –4, -3, -2, –1,0,1,2,3,4,5 …… begalybė

1/1, 1 / 2,1 / 3,1 / 4, ……

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5 .......

3 / 1,3 / 2,3 / 3,3 / 4, ...

4 / 1,4 / 2,4 / 3,4 / 4,4 / 5 ........

Jei tęsime šį kelią, galime pastebėti, kad visos įmanomos trupmenos bus įtrauktos į aukščiau pateiktą sąrašą vienoje ar kitoje eilutėje ir stulpelyje.

Taigi, visa tai yra nesuskaičiuojami begaliniai rinkiniai.

Dabar, kaip mes žinome, kad realaus skaičiaus aibė yra dviejų aibių, „Racionalių ir iracionalių“, sąjunga

Realiųjų skaičių aibė neskaičiuojama, nes tarp kiekvienų 2 realiųjų skaičių yra dar vienas racionalus ir neracionalus skaičius, todėl bijektyvusis žemėlapių sudarymas tarp elementų ir natūraliųjų skaičių yra neįmanomas.

Taigi realiųjų skaičių rinkinys yra neskaičiuojamas, o racionaliųjų skaičius yra skaičiuojamas. Taigi neracionalus rinkinys turi būti nesuskaičiuojamas. Jei taip nėra, realiųjų skaičių aibė bus suskaičiuota, o ne taip…


Atsakymas 2:

Jei turime baigtinį aibę ir skaičiuojame jos elementus (ty suderiname juos vienas su kitu natūraliaisiais skaičiais), tada skaičiavimas baigiasi ir atitinkamas natūralusis skaičius, kurį mes baigėme, yra elementai rinkinyje.

Jei turime begalinį rinkinį ir skaičiuojame jo elementus, skaičiavimas nesibaigia. Natūralaus skaičiaus, atitinkančio komplekto elementų skaičių, nėra.

Tai yra pagrindinis skirtumas. Kitaip tariant, baigtinio rinkinio elementai negali būti suderinti vienas su kitu visais elementais

N\mathbb N

. Arba technine prasme nėra jokio injekcijos

N\mathbb N

į baigtinį rinkinį, tačiau yra tokia injekcija į begalinį rinkinį.

Be to, bet kuris begalinis rinkinys turi savybę, kad kai kuriuos jo elementus galima pašalinti, tačiau gautą pogrupį vis tiek galima suderinti su vienu originaliu rinkiniu (pvz., Natūralieji skaičiai gali būti suporuoti, vienas po kito) -vienas, turintis lyginių skaičių pogrupį). Tai neįmanoma su baigtiniu rinkiniu. Iš tikrųjų tai yra skiriamoji savybė: ji gali būti naudojama apibrėžti esminį skirtumą tarp baigtinės aibės ir begalinės aibės.


Atsakymas 3:

Begalinius rinkinius galima suleisti į tinkamą poaibį. Baigtiniai rinkiniai negali.

Išpakuokime tai.

„Įpurškimas“ iš vieno rinkinio į kitą reiškia, kad kiekvienam „nuo“ rinkinio elementui pasirenkate unikalų elementą „į“ rinkinyje.

Pavyzdžiui, atsižvelgiant į kubo šonų rinkinį ir skaičius 1–10, įpurškimas iš šonų į skaičius padėtų skirtingą skaičių kiekvienoje kubo pusėje. Jei įdėsite 1 ant dviejų skirtingų pusių, tai nebus injekcija. Atminkite, kad injekcijai nereikia naudoti visų „į“ rinkinio elementų. Įpurškiant iš kubo šonų į 1–10, buvo naudojami keturi skaičiai, kurie nebuvo naudojami.

„Tinkamą rinkinio poaibį“ turi visi jo elementai, bet ne visi rinkinio elementai yra poaibyje. Pavyzdžiui, 1 skaitmens pirminių skaičių rinkinys yra tinkamas 0–9 pogrupis, nes 2,3,5 ir 7 yra visi 0–9, bet 8 nėra 1 skaitmens pradmenų rinkinys.

Pažvelkime į „natūralius skaičius“ ir „net natūralius skaičius“. Aišku, kad visi natūralieji skaičiai yra natūralieji skaičiai, todėl lygiai yra natūraliųjų skaičių pogrupis. Taip pat aišku, kad 3 yra natūralus skaičius, kuris nėra lygus. Taigi lygiai yra tinkamas natūraliųjų medžiagų pogrupis.

Bet kiekvienas natūralusis skaičius gali būti susietas su unikaliu lygiu natūraliu numeriu. Tu turi

12,24,36,,147294,1\to2, 2\to4, 3\to6, \ldots, 147\to294, \ldots

. Šis žemėlapis yra injekcija.

Tai reiškia, kad natūraliųjų skaičių yra begalinis rinkinys.

Kaip kitą pavyzdį apsvarstykite baigtinių ilgių raidžių rinkinį. Šis rinkinys atrodo kaip

Σ={"","a","ab","aab","bob",}\Sigma^* = \{"", "a", "ab", "aab", "bob", \ldots\}

, nors aš jų nevadinau jokia konkrečia tvarka. Vienas iš rinkinio elementų yra eilutė, susidedanti iš „a“ raidės, pakartotos „googleplex“ kartus. Dabar apsvarstykite rinkinį

bΣ={"b"+σσΣ}b\Sigma^* = \{ "b"+\sigma | \sigma \in \Sigma^*\}

, arba stygų rinkinį, suformuotą imant kiekvieną eilutę

Σ\Sigma^*

ir parenkant „b“ raidę. Taigi

bΣ={"b","ba","bab","baab","bbob",}b\Sigma^* = \{"b", "ba", "bab", "baab", "bbob", \ldots\}

, įskaitant eilutę, susidedančią iš raidės „b“, po kurios eina „googleplex“ raidės „a“. Kadangi kiekvienas elementas

\bΣ\b\Sigma^*

isafinitelengthstringofletters,itisasubsetofΣ.Sincethereareelementsof[math]Σ[/math]notin[math]bΣ[/math],itisapropersubset.Andsinceeveryelementof[math]Σ[/math]correspondstoauniqueelementin[math]bΣ[/math],thereisaninjection[math]ΣbΣ[/math].So[math]Σ[/math]isaninfiniteset. is a finite-length string of letters, it is a subset of \Sigma^*. Since there are elements of [math]\Sigma^*[/math] not in [math]b\Sigma^*[/math], it is a proper subset. And since every element of [math]\Sigma^*[/math] corresponds to a unique element in [math]b\Sigma^*[/math], there is an injection [math]\Sigma^* \to b\Sigma^*[/math]. So [math]\Sigma^*[/math] is an infinite set.

Kiti du atsakymai kalba apie „skaičiuojamus“ ir „nesuskaičiuojamus“ rinkinius, kurie iš tikrųjų nėra svarbiausias dalykas. Grubiai tariant, rinkinys yra „suskaičiuojamas“, kai jį galima įšvirkšti į natūraliųjų skaičių rinkinį. Visi baigtiniai aibės yra suskaičiuojami, natūralių skaičių aibė akivaizdžiai yra suskaičiuojama pagal tą apibrėžimą,

Σ\Sigma^*

yra suskaičiuojamas.

Matematikas Georgas Cantoris įrodė, kad neįmanoma įpurškti rinkinio galios rinkinio (visų poaibių rinkinio) - negalima švirkšti

{,{1},{2},{1,2}}\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}

į

{1,2}\{1,2\}

pavyzdžiui. Tai reiškia, kad negalima švirkšti

P(N)N\mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{N}

, taigi, todėl

P)N)\mathcal{P})\mathbb{N})

yra neskaičiuojamas arba yra neskaičiuojamas. Taigi kai kurie begaliniai rinkiniai yra suskaičiuojami, o kai kurie begaliniai aibės - neskaičiuojami.

Nuomonė, kad begalinis rinkinys gali būti įšvirkštas į tinkamą savęs pogrupį, iš tikrųjų yra apibrėžimas, ką reiškia rinkiniui būti begaliniam.